Der Unterschied zwischen homogen und inhomogen ist nur, dass eine inhomogenene Rekursionsgleichung eine Konstante hinzugefügt hat. Beispielsweise ist \(x_n = 2 x_{n-1} + 3\) inhomogen.

Die Ordnung wird durch die anzahl der \(x_{k-\dots}\) bestimmt. Beispielsweise ist \(x_n = 3 x_{n-1} + x_{n-2}\) eine Rekursionsgleichung der 2. Ordnung.

Erste Ordnung lösen

Sei \(x_0 = b_0, x_n = c x_{n-1} +b_1\) für \(n \geq 1\). Dann gilt: \begin{equation} x_n = \begin{cases} c^n b_0 & b_1 = 0\\ b_0 + n b_1 & c=1\\ c^n b_0 + \frac{c^n - 1}{c-1} b_1 & c \neq 1 \end{cases} \end{equation}

Zweite Ordnung lösen

Funktioniert nur für homogene Gleichungen. In der Rekursion \begin{equation} x_1 = b_1, x_0 = b_0, x_n = c_1 x_{n−1} + c_2 x_{n−2} \end{equation} ist für \(n \geq 2\) \begin{equation} x_n = A \alpha^n + B \beta^n \end{equation} die Lösung für alle \(n \in \mathbb{N}_0\), wobei \begin{align} A = \frac{b_1 - b_0 \beta}{\alpha - \beta} && B = \frac{b_1 - b_0 \alpha}{\alpha - \beta} \end{align} mit \(\alpha \geq \beta\) die Nullstellen des Polynoms \(t^2 - c_1 t - c_2\) sind. Hier nutzt man am besten die p-q Formel.