Lemma 1.9 (Binomischer Lehrsatz). Seien \(x\) und \(y\) Unbestimmte oder Zahlen, die kommutieren, d.h. \(xy = yx\). Dann gilt für alle \(n \in \mathbb{N}\): \[(x+y)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i}y^i\]
Aufgabe 2 (e)
Bestimmen Sie den Koeffizienten von \(x^5\) in \((2x-3)^8\)
Lösung.
Nach dem Binomischen Lehrsatz ist \[(2x-3)^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (2x)^{8-i} (-3)^i.\] \(5 = 8-i \iff i=3,\) somit erhält man den Koeffizienten für \(x^5\) durch \[\binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot (-3)^3 = 56 \cdot 32 \cdot -27 = -48384.\]