Allgemeine Formel für Taylorpolynome

Die Formel für das Taylorpolynom der Ordnung \(n\) um den Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet

\begin{align} P_{x_0, n} &= f(x_0) + f^\prime (x_0)(x-x_0) + \frac{f^{\prime \prime} (x_0)}{2!} (x-x_0)^2 \dots\\ &= \sum_{k=0}^n \frac{f^k (x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k \end{align}

Beispiel

Berechnen Sie das Taylorpolynom von \(f(x) = e^x\) vom Grad \(n\) um den Entwicklungspunkt \(0\).

Wir wissen, dass \(e^0 = 1\). Praktisch ist, dass \(f^\prime(x) = f^{\prime \prime}(x) = f^n(x) = e^x\) und somit für jede Ableitung \(f^n(0) = 1\) gilt.

\begin{align} P_{0, n} &= \frac{\overbrace{f^0(0)}^{=1}}{n!} \cdot (x-0)^0 + \frac{f^1(0)}{n!} \cdot (x-0)^1 +\dots\\ &= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n!} \cdot (x-0)^n\\ &= \sum_{k=0}^{n} \frac{x^n}{n!} \end{align}

Restgliedformel

Nach der Approximation braucht man das »Restglied« \begin{equation} R_n(x-x_0) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} \end{equation} wobei \(\xi \in (x_0, x)\)