Konvergenz- und Divergenzkriterien von Reihen

Eine notwendige Bedingung für das Konvergieren von Reihen, ist dass die Folge eine Nullfolge ist.

\begin{equation} \lim_{k \to \infty} a_k = 0 \end{equation}

Geometrische Reihen

\begin{equation} \sum_{k=1}^\infty q^{k} = \begin{cases} \frac{q^m}{1-q} & |q| < 1\\ \text{divergiert} & |q| \geq 1 \end{cases} \end{equation}

Harmonische Reihen

\begin{equation} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} = \begin{cases} \text{konvergiert} & s > 1\\ \text{divergiert} & s \leq 1 \end{cases} \end{equation}

Wurzelkriterium

Man kann \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) umschreiben als \begin{equation} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} = \begin{cases} \text{konvergiert} & < 1\\ \text{divergiert} & > 1\\ \text{keine Aussage} & = 1 \end{cases} \end{equation}

• Das Ergebnis des Limes ist nur eine Kennzahl und nicht der Grenzwert!
• Durch die Betragsstriche fällt das \((-1)^K\) bei alternierenden Reihen weg.
• Insbesondere geeignet für Formen wie \(\left(\frac{x}{y}\right)^k\) oder \(\frac{1}{(\ln{x})^k}\)

Quotientenkriterium

Man kann \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) umschreiben als \begin{equation} \lim_{k \to \infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \begin{cases} \text{konvergiert} & < 1\\ \text{divergiert} & > 1\\ \text{keine Aussage} & = 1 \end{cases} \end{equation}

• Hier ist insbesondere der Doppelbruch wichtig.

Leibnizkriterium

Gilt insbesondere für alternierende Reihen. \begin{equation} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \cdot b_k = \begin{cases} \text{konvergiert} & b_k~\text{ist monotone Nullfolge}\\ \text{divergiert} & \text{sonst} \end{cases} \end{equation}