Partielle Integration
\begin{equation} \int u~dv \implies uv - \int vdu \end{equation}
Beispiel
\begin{equation}
\int x \arctan{x}dx = \int (\arctan{x}) (xdx)
\end{equation}
Wir wählen \(u = \arctan{x}\) und \(dv = x~dx\).
Somit gilt \(du = \frac{1}{1+x^2}\) und \(v = \frac{x^2}{2}\).
\begin{align}
\frac{x^2}{2}\cdot \arctan{x} - \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{x^2}{2}dx\\
\frac{x^2}{2}\cdot \arctan{x} - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x^2} \cdot x^2dx\\
\end{align}
Weiter können wir rechnen: \begin{align} \frac{1}{1+x^2} \cdot x^2 &= \frac{x^2+1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2}\\ &= 1 - \frac{1}{1+x^2} \end{align} und wissen somit \begin{align} \frac{x^2}{2}\cdot \arctan{x} - \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{1+x^2}~dx\\ \frac{x^2}{2}\cdot \arctan{x} - \frac{1}{2} x - \arctan{x}\\ \end{align}
Als »schöne« Formel erhält man \[\frac{1}{2} x^2 \arctan{x} - \frac{1}{2} (x - \arctan{x}) + c\]